婆婆丁,论文引荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相

《测绘学报》

构建与学术的桥梁 拉近与威望的间隔

常用地球半径差异符号表达式

宗敬文1, 李厚朴1, 边少锋1, 唐庆辉2

1. 水兵工程大学导航工程系, 湖北 武汉 430033; 2. 32022部队, 湖北 武汉 430033

收稿日期:2018-04-10;修回日期:2018-09-21

基金项目:国家自然科学基金(41571441;41771487;41631072)

榜首作者简介:宗敬文(1995-), 男, 博士生, 研讨方向为大地丈量。E-mail:zjw19950613@163.com

通讯作者:李厚朴, E-mail:lihoupu1985@126.com

摘要:对丈量和地球科学核算中5种常用地球半径进行了全面体系的比较,凭借核算机不言春风代数体系推导出常用地球半径之间的差异最值点及其对应的最值和它们之间持平点大地纬度的符号表达式,并将其标明为偏心率e的幂级数方式,最终以CGCS2000椭球为例,将各个常用地球半径的差异清晰到数值上。结我的零点时间果标明,常用地球半径之间差异在纬度为90时存在最大值,在纬度为0时存在最小值,均匀曲率半径与等间隔球半径间差异最大,均匀曲率半径与均匀球半径间差异最小。这些效果可为地球科学、空间科学、导航定位相关研讨供给理论依据。

关键词:地球半径 差异最值 最值点 符号表达式 CGCS2000

Symbolic expressions of differences between earth radius

ZONG Jingwen1, LI Houpu1, BIAN Shaofeng1, TANG Qinghui2

1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;2. 32022 Troops, Wuhan 430033, China

Foundation support: The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41571441;41771487;41631072)

First author: ZONG Jingwen(1995—), male, PhD candidate, majors in geodetic surveying.E-mail:zjw19950613@163.com

Corresponding author: LI Houpu, E-mail: lihoupu1985@126.com

Abstract: A systemati婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相c and co悟空vpnmprehensive comparison of the five commonly used 舆洗室earth radius in geodesy and cartography is carried out, and the differences between the most common points of the earth's radius, their corresponding maximum values, and the latitudes of equal points between themare derived with the help of computer algebraic systems. The symbolic expressionsare expressed as a power series of the first eccentricity. Taking the CGCS2000 ellipsoid as an example, the differences between the commonly used earth radi带鱼孩子刷爆网络i are clarified to numerical values. The results show that the difference between the commonly used Earth radii has a maximum at 90 degrees and a minimum at 0 degrees. The difference between the average radius of curvature and the equidistant sphere radius is the biggest, and the difference between the average radius of curvature 同庆帝and the average sphere radius is the smallest. These results can provide theoretical basis for relative research in earth science, space science, navigation and positioning.

K婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相ey words: earth radius difference extrema value extrema value point symbolic expression CGCS2000

地球半径是丈量和地球科学核算中最常用的根本参数,依据地球科学、空间科学、导航定位的要求和某些需求,常用到均匀曲率半径、均匀球半径、等间隔球半径、等面积球半径和等体积球半径这5种田球半径[1-4]。跟着空间技术和核算机技术在大地丈量及地图学中的运用和开展,研讨常用地球半径间的联系及它们之间的差异婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相问题具有愈加重要的实用价值。关于这一问题,国内外许多学者进行了研讨,取得了明显效果。文献[5—6]提出运用不同的球体半径标明球体特性,将不同球体半径代入克拉索夫斯基椭圆参数求得数值解,再代入球体面积公式,求得不同半径下大圆航线长度和视点变形巨细,发现运用等角球半径核算大圆航线能够满意帆海运用精度要求。文献[7]将子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径展为大地纬度的幂级数,而且凭借辅佐函数V导出了不同方式的均匀曲率半径打开式。文献[8]中运用等间隔球半径和等面积球半径,推导出常用纬度函数运用于求解地图投影变换,提出了变系数线性插值办法,处理了丈量和地图学中所要求的核算精度问题。文献[9]运用球体半径和核算机代数体系对大地丈量学和地理信息体系中的问题进行了研讨。

从现在来看,前人对这一范畴作了许多行之有效的作业,但首要是针对其间一种或几种田球半径进行核算和运用,多是对等角纬度、等面积纬度及等间隔纬度的核算与剖析[10-15],很少有文献将这几种常用的地球半径间的差异在符号和数值上进行体系的比较。核算机代数体系能够将根本的数学公式打开成幂级数方式,推导出的公式相关于人工核算具有更高的精确度[16-19]。为丰厚对这一问题的研讨,使人们对这几种常用地球半径构成较直观的浮桥知道,本文侧重研讨了常用地球半径间的差异问题,推导出了常用地球半径间差异符号表达式,最终以CGCS2000参阅椭球[20]为例,对常用地球半径间的差异进行了数值剖析和比对,发现均匀球半径和等体积球半婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相径在等面积地图投影中能够对等面积球半径进行替换。

1 常用地球半径界说

均匀曲率半径Ra常用于制造地球表面上局部地区地图[21],也能够取制图区域中心点,记椭球偏心率为e,则它关于大地纬度B的表达式

(1)

式中,N为卯酉圈曲率半径;M为子午圈曲率半径,将其打开成偏心率e的幂级数方式

(2)

式(2)中的系数核算如下

(3)

就地球整体而言,均匀球半径(取地球椭球三轴半轴长的算术均匀值,用于简略决议球半径)[22]、等面积球半径(坚持球体表面积等于地球椭球面相应全面积而决议的球半径,首要用于等面积投影)[23]、等间隔球半径(使球面经线总长等于地球椭球面经线总长而决议的球半径,首要用于等间隔投影中)[24]和等体积球半径(使地球球体的体积等于地球椭球体的体积来决议的球半径)的表达式与大地纬度B无关,只取决于地球椭球模型的参数丝熟吧ae,其表达式为

(4)

式中, Re标明均匀球半径;RF标明等面积球半径;RS标明等间隔球半径;RV标明等体积半径。

2 常用地球半径间的差异符号表达式

因为5种常用地球半径具有必定差异,在实践运用中会用到它们的差值表达式。为了解常用地球半径间的差异状况,特别是差异最值点及其对应差异最值,可依据它们之间的差值表达式推导出其差异符号表达式。

2.1 均匀曲率半径与4种常用球体半径间的差异符号表达式

经过对均匀曲率半径与4种常用球体半径的表达式进行剖析,即可推算出其差异符号表达式。以均匀球半径为例

(5)

将式(5)打开成幂级数的方式

(6)

式(6)中系数核算公式为

(7)

从上式中能够看出,在确认地球椭球体参阅模型之后能够确认常数值e,此刻两者差值只与大地纬度B有关,因为大地纬度B的取值规模为B)的取值规模为(-1, 1),即当B取时,两者差值存在最大值,为便利均匀曲率半径与不同地球半径差异值的比较,将差异最大值进一步打开成偏心率e的幂级数方式

(8)

B取0时,存在最小值, 将其最小值进一步打开成偏心率e的幂级数方式

(9)

相似的,将均匀曲率半径与等面积地球半径、等间隔地球半径和等体积地球半径别离进行作差,剖析效果同均匀曲率半径与均匀球半径差值剖析效果:当B取时,两者差值存在最大值,最大值符号表达式效果列于表 1;当B取0时,两者差值存在最小值,差异最小值符号表达式效果列于表 2。

表 1 均匀曲率半径与4种常用球体半径间差异最大值纬度符号表达式Tab. 1 The symbolic expressions of different max value between average radius of curvature and four common sphere radii

R/a差异最大值点差异最大值符号表达式
(Ra-Re)/a
(Ra-RF)/a
(Ra-RV)/婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相a
(Ra-RS)/a

表 2 均匀曲率半径与4种常用球体半径间差异最小值纬度符号表达式Tab. 2 The symbolic expressions of different min value between average radius of curvature and four common sphere radii

R/a差异最小值点差异最小值符号表达式
(Ra-Re)/a0
(Ra-RF)/a婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相0
(Ra-RV)/a0
(Ra-RS)/a0

当均匀曲率半径与均匀球半径持平时,有如下公式

(10)

对式(10)进行收拾,省略推导进程,可得

(11)

式(11)中,B0e为均匀曲率半径与均匀球半径持平时的大地纬度,将其打开为偏心率e的幂级数方式

(12)

故选用与均匀球半径相似的办法,推导出它们与均匀曲率半径持平时大地纬度B的符号表达式,最终效果列于表 3。

表 3 均匀曲率半径与4类地球全时可视协同工作渠道半径持平时的大地纬度B符号表达式Tab. 3 The equ朴振英老婆al geodetic latitude symbolic expressions between average radius of curvature and four common sphere radii

R大地纬度B
Ra-Re
Ra-RF
Ra-RV
Ra-RS

2.2 4种常用球体半径间的差异符号表达式

为非秀不行体系地比较各常用球体半径之间的差异,除对均匀曲率半径与4种常用球体半径间的差异进行剖析以外,需要对其他4种常用球体半径间的差异进行剖析。以下谍影猎杀别离对均匀球半径、等面积球半径、等间隔球半径和等体积球半径间的差异进行剖析。就地球整体而言,它们的表达式与大地纬度B无关,只取决于地球椭球模型参数ae,与推导均匀曲率半径和4种常用球体半径间差异值符号表达式相似,经过作差之后级数打开的方式进行剖析(以均匀球半径和等体积球半径间差异值符号表达式为例),其差异能够标明为

(13)

将式(13)打开成幂级数的方式

(14)

相关于均匀曲率半径与其他4种常用球体半径间差异,它们彼此之间的差异就显得相对简略。相似的,能够推导出均匀球半径与等面积球半径、均匀球半径与等间隔球半径、等间隔球半径与等面积球半径、等间隔球半径与等体积球半径和等面积球半径与等体积球半径间的差异符号表达式,最终效果列于表 4。

表 4 4种常用球体半径之间的差异符号表达式Tab. 4 The symbolic expressions of different extrema between four common sphere radii

R/a差值符号表达式
(Re-RV)/a
(RF-RV)/a
(Re-RF)/a
(RF-RS)/a
(Re-RS)/a
(RS-RV)/a

由表 4能够看出,4种常用球体半径间的差异只与e有关,它们之间差异值跟着e的增大而增大,且等间隔球半径和等体积球半径之间的差异最小,均匀球半径和等间隔球半径之间的差异最大。

3 算例剖析

为使人们对各地球半径间的差异在数值上有一个直观的知道,下面以CGCS 2000参阅椭球(a=6 378 137,e=0.081 819 191 042 8)为例,对5种常用地球半径间的差异进行数值比较与剖析。

3.1 均匀曲率半径与4种常用球体半径间的差异比较

为了解均匀曲率半径与均匀球半径、等面积球半径、等间隔球半径和等体积球半径间的差异,能够制作大地纬度B∈[0, 90],均匀曲率半径与各常用球体半径的差异曲线图,如图 1所示;表 5为大地纬度B∈[0, 90],每隔15对应的均匀曲率半径与各常用球体半径间的差异。

图 1 均匀曲率半径与各常用地球半径的差异曲线图Fig. 1 Chart of differences between average radius of curvature and four common sphere radii

表 5 均匀曲率半径与各常用球体半径间的差异Tab. 5 The differences between average radius of curvature and four common sphere radiu啸傲射雕sm

m
B0153045607590
Ra-Re-14 256.5-11 404.6-3 599.97 092.317 820.525 697.028 584.9
Ra-RF-14 254.9-11 403.0-3 598.47 093.917 822.125 698.628 586.4
Ra-RS-10 696.8-7 844.9-4 036.810 651.921 380.129 256.632 144.5
Ra-RV-14 248.5-11 396.6-3 592.07 100.217 828.525 705.028 592.8

如图 1、表 5所示,均匀曲率半径与其他4种常用球体半径之间差异值跟着大地纬度B∈[0, 90]增大而增大,均匀曲率半径与均匀球半径、等面积球半径和等体积球半径差异值在所选取的7个点上差异很小,在图 1上表现为3条曲线简直重组成一条曲线。为了便于调查3条曲线之间的差异,取大地纬度B∈[0, 1]规模内,画出3条曲线,如图 2所示。

图 2 B∈[0, 1]内均匀曲率半径与各常用地球半径的差异曲线图Fig. 2 Chart of differences between average radius of curvature and four common sphere radii

由图 2能够看出,在1的改变规模内,均匀曲率半径与均匀球半径、等面积球半径和等体积球半径间差异的改变图,3条曲线的差异值在10 m以内,能够看出均匀球半径、等面积球半径和等体积球半径间相差较小,因而,在实践运用中能够依据需要挑选适宜的半径以防止公式核算和推导进程中的杂乱性。

依据已推导出的均匀曲率半径与其他4种常用球体半径间的差异符号表达式,能够核算出在大地纬度B∈[0, 90]规模内存在一个点使得两个半径持平,即差异值为0。

由图 1和表 6能够看出,差异曲线与坐标轴的交点即均匀曲率半径与均匀球半径、等面积球半径、等间隔球半径和等体积球半径持平的点,详细数值总结于表 6。其间,等间隔球半径和均匀曲率半径持平点的大地纬度在303′45.04″,与其他3个持平点大地纬度相差5左右,与图 1反映的差异曲线相符。

表 6 均匀曲率半径与4种常用球体半径间差异为0时的点大地纬度BTab. 6 The point value of the differences is zero

大地纬度Ra=ReRa=RFRa=RSRa=RV
B3519′31.77″3519′7.79″303′45.04″3519′35.11″

因为均匀曲率半径是跟着大地纬度B逐点改变的,是微观上的,而4种常用球体半径是微观意义上地球球体的均匀值,它们之间界说不同,差异逐点地改变,运用的场合也不同,因而微观无法替代微观上地均匀曲率半径,但在必定程度上,均匀曲率半径与4种常用球体半径在某一个特别点上持平,此刻它们夜染君墨皇之间能够彼此替代。

3.2 4种常用球体半径间的差异比较

为全面剖析常用地球半径间的差异问题,现以CGCS2000参阅椭球(a=6 378 137,e=0婆婆丁,论文举荐| 宗敬文:常用地球半径差异符号表达式,旺夫相.081 819 191 0)为例,对4种常用球体半径间的差异进行数值比较与剖析,最终效果列于表 7中。

表 7 4种常用球体半径之间的差异值Tab. 7 The value of different b重生之超级红三代周凡etween four common sphere radius


m
Re-RVRe-RSRe-RFRF-RSRF-RVRS-RV
R7.983 559.631.593 558.046.39-3 551.64

由表 7能够看出,均匀球半径和等面积球半径之间的差异值的绝对值最小,均匀球半径和等间隔球半径之间的差异值绝对值最大。因为4种球体半径是不同意义上界说的球体半径均匀值,因而,它们之间差异很大。等间隔球半径与其他3种田球半径差异较大,因而在进行等间隔投影时不宜运用其他地球半径进行替换;反观均匀球半径和等体积球半径与等面积球半径之间,在CGCS2000参阅系下数值相差精度在8 m以内,将均匀球半径、等面积球半径和等体积球半径别离代入等面积投影长度比公式中,能够看出,椭球面在球面上的等面积投影的长度变弦弄形在赤道处最大,其值别离为0.111 7%、0.111 8%和0.111 9%,由此可见,这3种田内蒙古通辽市大清沟球半径对等面积投影的影响很小。因为等面积球半径公式较杂乱,关于杂乱公式核算推导存在必定的困难,因而,在实践运用进程中能够用均匀球半径和等体积球半径来替代等面积球半径。

4 定论

本文对5种常用地球半径间的差异进行了研讨,推导出了常用地球半径间的差异符号表达式,并以CGCS2000椭球为例对它们进行了数值剖析和比对,得出如下定论。

(1) 均匀曲率半径与4种常用球体半径差异值随大地纬度的增大而增大,差异绝对值随大地纬度的增大先减小后增大,在某一个特定点处差异值为0。其间,当B取时,存在差异最大值,均匀曲率半径与等间隔球半径间差异最大,差异最大符号表达式的首项为B取0时,存在差异最小值,均匀曲率半径与均匀球半径间差异值最小,最小值符号表达式的首项为

(2) 均匀曲率半径是微观上的均匀值,是跟着大地纬度B逐点改变的;4种常用球体半径是微观意义上的地球球体上的均匀值,模特牛玉坤与大地纬度B无关。均匀曲率半径与4种常用球体半径除在特别点等价外,其他点无法进行彼此替代运用。

(3) 4种常用球体半径间,均匀球半径和等面积半径间的差异绝对值最小,绝对值最小符号表达式的首项为

(4) 将常用地球半径间差异值标明为符号方式,并一致打开为偏心率e的幂级数方式,该表达式易于比较剖析,必定程度上丰厚了丈量及地图学数学剖析理论。

【引文格局】宗敬文, 李厚朴, 边少锋, 等. 常用地球半径差异符号表达式. 测绘学报,2019,48(2):238-244鸣泽贤一. DOI: 10.11947/j.AGCS.2019.20180145

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